奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不仅可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。

我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：

                                                                    Ax=λx

其中A是一个n×n的矩阵，x是一个n维向量，则我们说λ是矩阵A的一个特征值，而x是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。

　　求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值λ1≤λ2≤...≤λn,以及这n个特征值所对应的特征向量{

w1,w2,...wn}，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：

A=WΣW⁻¹

其中W是这

n个特征向量所张成的n×n维矩阵，而Σ为这n个特征值为主对角线的n×n维矩阵。

　　一般我们会把W的这n个特征向量标准化，即满足||wi||2=1, 或者说w^T_iw_i=1，此时W的n个特征向量为标准正交基，满足W^TW=I，即W^T=W−1, 也就是说W为酉矩阵。

　　　　这样我们的特征分解表达式可以写成A=WΣW^T

　　　　注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

  SVD的定义

　　　　SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×nm×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：

                                                       A=UΣV^T   

　　　　其中U是一个m×m的矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足U^TU=I,V^TV=I。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

　　　　那么我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢？

　　　　如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到n×nn×n的一个方阵ATA。既然ATA是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

                                                                    (A^TA)vi=λivi

 

　　　　这样我们就可以得到矩阵ATA的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将ATA的所有特征向量张成一个n×n的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

　　　　如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到m×m的一个方阵AAT。既然AAT是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

                                                               (AA^T)ui=λiui

 

　　　　这样我们就可以得到矩阵AAT的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将AAT的所有特征向量张成一个m×m的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

　　　　U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵Σ没有求出了。由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。

　　　　我们注意到:

                                                              A=UΣV^T⇒AV=UΣV^TV⇒AV=UΣ⇒Av_i=σ_iu_i⇒σ_i=Av_i/u_i

 

 　　　 这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ。

             SVD的一些性质　

　　　　上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

　　　　对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：

                                                   Am×n=Um×mΣm×nV^Tn×n≈Um×kΣk×kV^Tk×n

　　　　其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵Um×k,Σk×k,V^Tk×n来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

　　　　由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。

以上转自：http://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html

SVD协同过滤：

假设存在以下user和item的数据矩阵：

这是一个极其稀疏的矩阵，这里把这个评分矩阵记为R，其中的元素表示user对item的打分，“？”表示未知的，也就是要你去预测的，现在问题来了：如何去预测未知的评分值呢？从上面的SVD的性质:  Am×n=Um×mΣm×nVTn×n≈Um×kΣk×kVTk×n，可以得到：

一个m*n的打分矩阵R可以由分解的两个小矩阵U（m*k）和V（k*n）的乘积来近似，即 R=UV^T,k<=m,n 

将这种分解方式体现协同过滤中，即有：

           (matrix factorization model，MF模型 )

 在这样的分解模型中,Pu代表用户隐因子矩阵（表示用户u对因子k的喜好程度),Qi表示电影隐因子矩阵（表示电影i在因子k上的程度）。

 

SVD推荐算法公式如下：

    

这里需要解释一下各个参数的含义：

对于电影评分实例，首先得到训练数据集 user_id,movie_id和rating，u表示打分矩阵中所有评分值的平均值，bi在这个公式中应该是一个参数值，而不是向量，可以这样理解，首先初始化一个代表item的向量bi，向量维度是item的个数，公式中的bi是指bi[movie_id],同理，bu代表bu[user_id],r_{ui_}hat 表示预测的评分值.

加入防止过拟合的 λ 参数，可以得到下面的优化函数：

     

利用随机梯度下降算法更新参数：

 代码体现：

# -*- coding: utf-8 -*-"""Created on Thu Apr 19 16:28:10 2018@author: """import numpy as np  import random  import os   class SVD:      def __init__(self,mat,K=20):          self.mat=np.array(mat)          self.K=K          self.bi={}          self.bu={}          self.qi={}          self.pu={}          self.avg=np.mean(self.mat[:,2])          for i in range(self.mat.shape[0]):              uid=self.mat[i,0]              iid=self.mat[i,1]              self.bi.setdefault(iid,0)              self.bu.setdefault(uid,0)              self.qi.setdefault(iid,np.random.random((self.K,1))/10*np.sqrt(self.K))              self.pu.setdefault(uid,np.random.random((self.K,1))/10*np.sqrt(self.K))      def predict(self,uid,iid):  #预测评分的函数          #setdefault的作用是当该用户或者物品未出现过时，新建它的bi,bu,qi,pu，并设置初始值为0          self.bi.setdefault(iid,0)          self.bu.setdefault(uid,0)          self.qi.setdefault(iid,np.zeros((self.K,1)))          self.pu.setdefault(uid,np.zeros((self.K,1)))          rating=self.avg+self.bi[iid]+self.bu[uid]+np.sum(self.qi[iid]*self.pu[uid]) #预测评分公式          #由于评分范围在1到5，所以当分数大于5或小于1时，返回5,1.          if rating>5:              rating=5          if rating<1:              rating=1          return rating            def train(self,steps=30,gamma=0.04,Lambda=0.15):    #训练函数，step为迭代次数。          print('train data size',self.mat.shape)          for step in range(steps):              print('step',step+1,'is running')              KK=np.random.permutation(self.mat.shape[0]) #随机梯度下降算法，kk为对矩阵进行随机洗牌              rmse=0.0;mae=0            for i in range(self.mat.shape[0]):                  j=KK[i]                  uid=self.mat[j,0]                  iid=self.mat[j,1]                  rating=self.mat[j,2]                  eui=rating-self.predict(uid, iid)                  rmse+=eui**2                  mae+=abs(eui)                self.bu[uid]+=gamma*(eui-Lambda*self.bu[uid])                    self.bi[iid]+=gamma*(eui-Lambda*self.bi[iid])                  tmp=self.qi[iid]                  self.qi[iid]+=gamma*(eui*self.pu[uid]-Lambda*self.qi[iid])                  self.pu[uid]+=gamma*(eui*tmp-Lambda*self.pu[uid])              gamma=0.93*gamma  #gamma以0.93的学习率递减             print('rmse is {0:3f}, ase is {1:3f}'.format(np.sqrt(rmse/self.mat.shape[0]),mae/self.mat.shape[0]))            def test(self,test_data):                     test_data=np.array(test_data)          print('test data size',test_data.shape)          rmse=0.0;mae=0          for i in range(test_data.shape[0]):              uid=test_data[i,0]              iid=test_data[i,1]              rating=test_data[i,2]              eui=rating-self.predict(uid, iid)              rmse+=eui**2              mae+=abs(eui)        print('rmse is {0:3f}, ase is {1:3f}'.format(np.sqrt(rmse/self.mat.shape[0]),mae/self.mat.shape[0]))                              def getData(file_name):     """    获取训练集和测试集的函数     """      data=[]     with open(os.path.expanduser(file_name)) as f:                                  for line in f.readlines():              list=line.split('::')              data.append([int(i) for i in list[:3]])      random.shuffle(data)      train_data=data[:int(len(data)*7/10)]      test_data=data[int(len(data)*7/10):]      print('load data finished')      print('total data ',len(data))      return train_data,test_data             if __name__=='__main__':      train_data,test_data=getData('D:/Downloads/ml-1m/ratings.dat')      a=SVD(train_data,30)        a.train()      a.test(test_data)

测试结果

在训练集上rmse is 0.869038, ase is 0.690794在测试集上rmse is 0.583027, ase is 0.303116

 

 

 SVD++算法：

SVD算法是指在SVD的基础上引入隐式反馈，使用用户的历史浏览数据、用户历史评分数据等作为新的参数。

这里的N(u)表示用户u行为记录（包括浏览的和评过分的商品集合），yj为隐藏的“评价了电影 j”反映出的个人喜好偏置。其他参数同SVD中的参数含义一致。

 利用随机梯度下降算法更新参数：

代码体现：

# -*- coding: utf-8 -*-"""Created on Sat Apr 21 14:44:25 2018@author: fanchao3"""import numpy as np  import randomimport osclass SVDPP:      def __init__(self,mat,K=20):          self.mat=np.array(mat)          self.K=K          self.bi={}          self.bu={}          self.qi={}          self.pu={}          self.avg=np.mean(self.mat[:,2])          self.y={}          self.u_dict={}          for i in range(self.mat.shape[0]):                            uid=self.mat[i,0]              iid=self.mat[i,1]              self.u_dict.setdefault(uid,[])              self.u_dict[uid].append(iid)              self.bi.setdefault(iid,0)              self.bu.setdefault(uid,0)              self.qi.setdefault(iid,np.random.random((self.K,1))/10*np.sqrt(self.K))              self.pu.setdefault(uid,np.random.random((self.K,1))/10*np.sqrt(self.K))              self.y.setdefault(iid,np.zeros((self.K,1))+.1)      def predict(self,uid,iid):  #预测评分的函数          #setdefault的作用是当该用户或者物品未出现过时，新建它的bi,bu,qi,pu及用户评价过的物品u_dict，并设置初始值为0          self.bi.setdefault(iid,0)          self.bu.setdefault(uid,0)          self.qi.setdefault(iid,np.zeros((self.K,1)))          self.pu.setdefault(uid,np.zeros((self.K,1)))          self.y.setdefault(uid,np.zeros((self.K,1)))          self.u_dict.setdefault(uid,[])          u_impl_prf,sqrt_Nu=self.getY(uid, iid)          rating=self.avg+self.bi[iid]+self.bu[uid]+np.sum(self.qi[iid]*(self.pu[uid]+u_impl_prf)) #预测评分公式          #由于评分范围在1到5，所以当分数大于5或小于1时，返回5,1.          if rating>5:              rating=5          if rating<1:              rating=1          return rating            #计算sqrt_Nu和∑yj      def getY(self,uid,iid):          Nu=self.u_dict[uid]          I_Nu=len(Nu)          sqrt_Nu=np.sqrt(I_Nu)          y_u=np.zeros((self.K,1))          if I_Nu==0:              u_impl_prf=y_u          else:              for i in Nu:                  y_u+=self.y[i]              u_impl_prf = y_u / sqrt_Nu                    return u_impl_prf,sqrt_Nu            def train(self,steps=30,gamma=0.04,Lambda=0.15):    #训练函数，step为迭代次数。          print('train data size',self.mat.shape)          for step in range(steps):              print('step',step+1,'is running')              KK=np.random.permutation(self.mat.shape[0]) #随机梯度下降算法，kk为对矩阵进行随机洗牌              rmse=0.0              for i in range(self.mat.shape[0]):                  j=KK[i]                  uid=self.mat[j,0]                  iid=self.mat[j,1]                  rating=self.mat[j,2]                  predict=self.predict(uid, iid)                  u_impl_prf,sqrt_Nu=self.getY(uid, iid)                  eui=rating-predict                  rmse+=eui**2                  self.bu[uid]+=gamma*(eui-Lambda*self.bu[uid])                    self.bi[iid]+=gamma*(eui-Lambda*self.bi[iid])                  self.pu[uid]+=gamma*(eui*self.qi[iid]-Lambda*self.pu[uid])                  self.qi[iid]+=gamma*(eui*(self.pu[uid]+u_impl_prf)-Lambda*self.qi[iid])                  for j in self.u_dict[uid]:                      self.y[j]+=gamma*(eui*self.qi[j]/sqrt_Nu-Lambda*self.y[j])                                                    gamma=0.93*gamma              print('rmse is',np.sqrt(rmse/self.mat.shape[0]))            def test(self,test_data):  #gamma以0.93的学习率递减                    test_data=np.array(test_data)          print('test data size',test_data.shape)          rmse=0.0          for i in range(test_data.shape[0]):              uid=test_data[i,0]              iid=test_data[i,1]              rating=test_data[i,2]              eui=rating-self.predict(uid, iid)              rmse+=eui**2          print('rmse of test data is',np.sqrt(rmse/test_data.shape[0]))              def getData(file_name):     """    获取训练集和测试集的函数     """      data=[]     with open(os.path.expanduser(file_name)) as f:                                  for line in f.readlines():              list=line.split('::')              data.append([int(i) for i in list[:3]])      random.shuffle(data)      train_data=data[:int(len(data)*7/10)]      test_data=data[int(len(data)*7/10):]      print('load data finished')      print('total data ',len(data))      return train_data,test_data        if __name__=='__main__':      train_data,test_data=getData('D:/Downloads/ml-1m/ratings.dat')      a=SVDPP(train_data,30)        a.train()      a.test(test_data)

 

# -*- coding: utf-8 -*-"""Created on Thu Apr 19 17:53:34 2018@author: """import numpy as np  import random  import os   class SVDPP:      def __init__(self,mat,K=20):          self.mat=np.array(mat)          self.K=K         self.avg=np.mean(self.mat[:,2])         self.user_num = len(set(self.mat[:,0]))        self.item_num = len(set(self.mat[:,1]))        #print("item_num:",self.item_num )        #user bias        self.bu = np.zeros(self.user_num, np.double)        #item bias        self.bi = np.zeros(self.item_num, np.double)        #user factor        self.p = np.zeros((self.user_num, self.K), np.double) + .1        #item factor        self.q = np.zeros((self.item_num, self.K), np.double) + .1        #item preference facotor        self.y = np.zeros((self.item_num, self.K), np.double) + .1        self.u_items={}        for i in range(self.mat.shape[0]):            uid=self.mat[i,0]            iid=self.mat[i,1]            if uid not in self.u_items.keys():                                self.u_items[uid]=[iid]            else:                self.u_items[uid].append(iid)                    def train(self,steps=30,gamma=0.04,Lambda=0.15):    #训练函数，step为迭代次数。          #print('train data size',self.mat.shape)                 for step in range(steps):              print('step',step+1,'is running')              KK=np.random.permutation(self.mat.shape[0]) #随机梯度下降算法，kk为对矩阵进行随机洗牌              rmse=0.0;mae=0            for i in range(self.mat.shape[0]):                  j=KK[i]                  uid=self.mat[j,0]                  iid=self.mat[j,1]                  rating=self.mat[j,2]                Nu=self.u_items[uid]                I_Nu = len(Nu)                sqrt_N_u = np.sqrt(I_Nu)                #基于用户u点评的item集推测u的implicit偏好                y_u = np.sum(self.y[Nu], axis=0)                u_impl_prf = y_u / sqrt_N_u                #预测值                rp = self.avg + self.bu[uid] + self.bi[iid] + np.dot(self.q[iid], self.p[uid] + u_impl_prf)                eui=rating- rp                rmse+=eui**2                  mae+=abs(eui)                #sgd                self.bu[uid] += gamma * (eui - Lambda * self.bu[uid])                self.bi[iid] += gamma * (eui - Lambda * self.bi[iid])                self.p[uid] += gamma * (eui * self.q[iid] - Lambda * self.p[uid])                self.q[iid] += gamma * (eui * (self.p[uid] + u_impl_prf) - Lambda * self.q[iid])                for j in Nu:                    self.y[j] += gamma * (eui * self.q[j] / sqrt_N_u - Lambda * self.y[j])            gamma=0.93*gamma  #gamma以0.93的学习率递减             print('rmse is {0:3f}, ase is {1:3f}'.format(np.sqrt(rmse/self.mat.shape[0]),mae/self.mat.shape[0]))            def test(self,test_data):                     test_data=np.array(test_data)          print('test data size',test_data.shape)          rmse=0.0;mae=0          for i in range(test_data.shape[0]):              uid=test_data[i,0]              iid=test_data[i,1]              Nu=self.u_items[uid]            I_Nu = len(Nu)            sqrt_N_u = np.sqrt(I_Nu)            y_u = np.sum(self.y[Nu], axis=0) / sqrt_N_u            est = self.avg + self.bu[uid] + self.bi[iid] + np.dot(self.q[iid], self.p[uid] + y_u)            rating=test_data[i,2]              eui=rating-est              rmse+=eui**2              mae+=abs(eui)        print('rmse is {0:3f}, ase is {1:3f}'.format(np.sqrt(rmse/self.mat.shape[0]),mae/self.mat.shape[0]))                              def getData(file_name):     """    获取训练集和测试集的函数     """      data=[]     with open(os.path.expanduser(file_name)) as f:                                  for line in f.readlines():            List=line.split('::')              data.append([int(i) for i in List[:3]])      random.shuffle(data)      train_data=data[:int(len(data)*7/10)]      test_data=data[int(len(data)*7/10):]      new_train_data=mapping(train_data)    new_test_data=mapping(test_data)    print('load data finished')      return new_train_data,new_test_data  def mapping(data):    """    将原始的uid，iid映射为从0开始的编号    """    data=np.array(data)    users=list(set(data[:,0]))    u_dict={}    for i in range(len(users)):        u_dict[users[i]]=i    items=list(set(data[:,1]))    i_dict={}    for j in range(len(items)):        i_dict[items[j]]=j    new_data=[]    for l in data:        uid=u_dict[l[0]]        iid=i_dict[l[1]]        r=l[2]        new_data.append([uid,iid,r])    return new_data     if __name__=='__main__':      train_data,test_data=getData('D:/Downloads/ml-1m/ratings.dat')      a=SVDPP(train_data,30)        a.train()      a.test(test_data)